模拟电子技术基础 期末试卷及答案 (谢志远)

期末试卷配套教材：

书名：模拟电子技术基础
作者：谢志远 尚秋峰
出版社：清华大学出版社

期末试卷概述：

2007年天津市大学数学竞赛试题集 （2009.3.10整理） 2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。） 　　1. 函数在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 　　2. 设函数y = y(x) 由方程所确定，则 。 　　3. 由曲线与x轴所围成的图形的面积A = 。 　　4. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。 　　5．设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l ，则 4l 。 　　 　　二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 　　1. 若且，则（ D ） （A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C均不正确。 2. 设，，则当时，（ A ） （A）与为同阶但非等价无穷小； （B）与为等价无穷小； （C）是比更高阶的无穷小； （D）是比更低阶的无穷小。 　　3. 设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则在x = 1处（ D ） 　　（A）不可导； （B）可导，且； 　　（C）可导，且； （D）可导，且。 　　4. 设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s > 0，t > 0，则I的值（ C ） 　　（A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关； 　　（C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。 　　5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ B ）。 （A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。 　　以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。 三、求极限 。（本题6分） 　　解：； 　　 ； 　　 ； 　　由此得到： 　　 　　 。 四、计算。（本题6分） 解： 命：，于是 五、设函数的所有二阶偏导数都连续，，，求。（本题6分） 解：两边对x求导，得到 代入，求得 ， 两边对x求导，得到 ， 两边对x求导，得到 。 以上两式与已知联立，又二阶导数连续，所以，故 。 六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分） 解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为 则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。 设 ， 问题转化成求在 上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y > z，而由假设x + y + z = 2p，即 z = 2p－（x + y），故有x + y > z = 2p－（x + y），所以有x + y > p。 由， 求出在D内的唯一驻点。因在有界闭区域上连续，故在上有最大值。注意到在的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故在D内取得它在上的最大值。由于在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有 ， 此时x = y = z =，即三角形为等边三角形。 　　七、计算。（本题8分） 解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到 。 八、计算曲面积分，其中Σ为上半球面的上侧。（本题7分） 解：记S为平面z = 0（ x2 + y2 ≤ a2 )的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域， 　　九、已知a>0，x1>0，定义 求证：存在，并求其值。（本题8分） 　　解：第一步：证明数列的极限存在： 注意到：当n ≥ 2时，≥，因此数列有下界。又≤，即xn+1≤xn ，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。 第二步：求数列的极限 设：，则有≥。 　　由， 　　有，解得（舍掉负根），即。 　　十、证明不等式。（本题7分） 　　证明：设，则 。 　　命，得到驻点 x = 0。由 可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为，于是对任意有，即所证不等式成立。 　　十一、设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分） 证明：由积分中值定理知，存在，使得 　　又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使得。 　　十二、设在区间上具有二阶导数，且，，。证明。（本题8分） 证明：对任意的，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a，+∞)，于是有 ，其中。 即 故 ，（，h > 0） 命，试求其最小值。 命，得到， 　　， 所以，在处得极小值，亦即最小值， 。 故 ，（）。 2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 　　1．。 　　2．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。 　　3．。 　　4．设在点(－1,1)处沿方向的方向导数。 　　5．设Σ为曲面介于0≤Z≤R的部分，则。 　　 　　二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 　　1. 曲线的渐近线有（ B ） （A） 1条； （B） 2条； （C） 3条； （D） 4条。 2. 若，则当n>2时（ A ） 　　（A）； （B）； 　　（C）； （D）。 　　3. 已知函数f (x)在（－∞，+∞）内有定义，且x0是函数f (x)的极大值点，则（ C ） 　　（A）x0是f (x)驻点； （B）在（－∞，+∞）内恒有f (x)≤f (x0)； 　　（C）－x0是－f (－x)的极小值点； （D）－x0是－f (x)的极小值点。 　　4. 设，则z = z (x,y)在点（0，0）（ D ） 　　（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微； 　　（C）不连续且偏导